PARLEREMO DI UN ESPERIMENTO DIDATTICO PER CONTROLLARE SE OGNI OGGETTO DELL’UNIVERSO POSSA AVERE LA STESSA MASSA GRAVITAZIONALE ED INERZIALE: rivisitazione, secondo il nostro intendimento, dell’esperimento condotto dall’accademico prof. Placido D’Agostino dell’università di Messina; a cura del dott. prof. Giorgio Cellai e dott. Piero Pistoia

Articolo in via di costruzione….da modificare ampliare e correggere.

CURRICULUM DI PIERO PISTOIA:

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Per leggere l’articolo in pdf cliccare sul link:

AGOSTINO_x4

Oppure continuare a leggerlo di seguito.

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PROLOGO

capire non sanno

come.

discorde in sè, si accordi…

corda d’arco e di lira,

che agli opposti si tende

in armonia.

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PREMESSA PER IL CALCOLO DELLA MASSA INERZIALE

Il concetto di massa inerziale ‘gioca’ sui palcoscenici dove si sprigionano cambiamenti di velocità fra oggetti, in particolare in teatri dove avvengono urti, quasi che gli oggetti dell’Universo posseggano intrinseche proprietà di opporsi a questi cambiamenti. Per altri ricercatori (Mach, Einstein) il concetto di inerzia acquista significati diversi. Per noi, che vogliamo studiare e quantificare questo concetto, sarà invece necessario guardare in questi ambiti, dove masse interagenti scambiano fra loro energie e velocità, onde fare le nostre osservazioni utilizzando opportuni linguaggi.  Utilizzeremo così processi che coinvolgono variazioni di quantità di moto  e di energie cinetiche.

Interessante è rivisitare, usando la mente, come in qualche modo tentava di fare Semplicio nel contraddittorio con i colleghi di dialogo (Galileo e Sagredo ovvero Salviati), precisandone alcuni aspetti, l’esperimento proposto dal prof. Placido D’Agostino, dell’Istituto di Fisica dell’Università di Messina, pubblicato nella rivista “La fisica nella scuola”, ottobre-dicembre del lontano 1982, usando una apparecchiatura  di maggiore precisione (rotaia a cuscinetto d’aria), rispetto a quelle, al tempo, secondo noi, statisticamente usate più spesso, in dotazione dei laboratori della Scuola Superiore, con utilizzo anche di un cronometro che aveva al max  la precisione solo di un centesimo di secondo, dotato di  interruttori a contatto spostabili lungo la rotaia.

Ad uno degli scriventi, cercando di riordinare alla meglio studio, tappezzato, pavimento e pareti, di miriadi di libri e riviste aperti, migliaia di fotocopie in parte spillate o incollate in enormi blocchi, fogli di appunti e di aforismi (fra cui spiccava “L’ORDINE E’ LA VIRTU’ DEI MEDIOCRI”)…, gli è capitato in mano una rivistina, aperta alla pagina 143, dove  in alto a destra appariva la scritta DIDATTICA ed a sinistra PLACIDO D’AGOSTINO Istituto di Fisica dell’Università Messina” e sotto un titolo interessante in neretto “L’urto elastico usato come verifica dell’uguaglianza fra massa gravitazionale e massa inerzia; nella pagina successiva appariva in alto in caratteri piccoli il titolo ed il numero della rivista “La fisica nella Scuola,XV, 4” e a destra una tabella con valori di misure  di grandezze con errori assoluti certamente piccoli: nulli addirittura sui rapporti fra masse gravitazionali, circa 1 millimetro sugli intervalli di spazio e sugli intervalli corrispondenti di tempo errori fino al millesimo di secondo, da destare meraviglia a fronte dei ricordi che aveva relativi a misure fatte quando era docente di Fisica e Laboratorio al biennio  dell’ITI, un Istituto Tecnico di una provincia lontana da una città media.

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Per leggere direttamente l’articolo dell’accademico P. D’Agostino in pdf, cliccare sul link:

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(E’ consentita la riproduzione fotostatica delle pagine della rivista)

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In particolare, in una prima veloce lettura, ci ha colpito il risultato finale rappresentato dalla media delle differenze fra i rapporti  fra massa gravitazione e quelli fra massa inerziale, infatti  per questa media di tali differenze  riportata era 5.512*10^(-4), con errore assoluto sulla quarta cifra significativa, errore relativo  (0,001/5.512); percentuale 0.018% ! Su tale risultato l’autore afferma : <<Data la natura prettamente didattica e dimostrativa di questa esperienza, i risultati ottenuti si ritengono soddisfacenti>>. Comunque se  ci farà voglia proveremo a ricalcolarlo.

Chi vuol vedere come si calcola direttamente dalla scrittura di una misura il suo errore percentuale, cliccare sul link:  dagostino0001

Il dott. prof. Giorgio Cellai, docente di ruolo in fisica al Liceo Scientifico, contribuisce con una argomentazione critica sul calcolo degli errori  nell’articolo in oggetto, e sulla loro interpretazione.

Vedere di seguito il link:

Contributo Cellai OK

 

Interessante confrontare l’errore direttamente  “ricavato dalla scrittura” della misura della media delle differenze fra rapporti delle due masse, con l’argomentazione accennata da Cellai su tale valore.

ALCUNI PASSAGGI IMPLICITI DA RENDERE TRASPARENTI AL LETTORE MEDIO

Non esiste nell’articolo alcuna descrizione né disegno della apparecchiatura, né come si ponga il cronometro digitale ad alta precisione con relativi contatti mobili per on/stop; ci si limita a dire, almeno così ho capito, che si tratta di una rotaia ad aria per rendere minimi gli attriti, che saranno usate per le varie prove, come si ricava dalla tabella, 10 coppie di oggetti già tarati a corredo dell’apparecchiatura, di massa m1 e m2 variabile, i cui valori formino rapporti che cambiano da 1.2 a 5.0 (vedere tabella). Per le masse dei due oggetti si precisa che m1<m2, e che, mentre l’oggetto m1 si muove di moto rettilineo uniforme con velocità U1 nota, quello m2 è posto, ad ogni prova, fermo in un punto della rotaia tale che: <<…dopo l’urto, le due masse m1 e m2 (i due oggetti di massa m1 e m2) raggiungono (raggiungano) le estremità della rotaia nello stesso tempo>>. Credo che si voglia dire che ad ogni prova con rapporti di massa diversi il contatto-interruttore on venga attivato all’istante dell’urto, mentre, in qualche modo, il contatto stop verrebbe attivato quando i due oggetti di massa m1 con velocità -V1 e m2 con V2 maggiore, toccheranno rispettivamente, per es. l’estremo S1 a sinistra e l’altro l’estremo a destra, nello stesso istante. Ciò implicherebbe che prima di ognuna delle 10 prove con masse diverse, cambiando rapporto fra le masse. dovremmo sapere già dove poggiare sulla rotaia l’oggetto di massa2 ?

Comunque con le precedenti semplificazioni possiamo scrivere, anche noi:

S1=-V1*t  ed  S2=V2*t     e dividendo membra a membro:     S1/S2 = -V1/V2

Considerando che un segmento lungo L=230 cm rappresenti la lunghezza della rotaia orizzontale, con un verso a destra. Dopo l’urto l’oggetto m1, che proviene da sinistra, si muoverà verso sinistra rimbalzando con velocità -V1 e quello m2, verso destra con velocità V2 minore (m1<m2), e per ogni rapporto, in tutti i casi, a partire da un dato punto  segnato su L più vicino all’estremo destro, i due oggetti raggiungeranno gli estremi della rotaia nello stesso istante.

|———————–x————–*——-(L- x)—-|

—————>

t=x/V1; t=(L-x)/V2 —->x/V1=(L-x)/V2—->V2*x = V1*(L-x)—->V2*x = V1*L-V1*x

x =V1*L/(V2+V1)

Nell’esperimento, sembrerebbe che la diretta proporzionalità fra spazio e velocità e la costanza della quantità di moto scelta prima dell’urto (m1*U1), in tutte le prove, potessero essere la causa dell’uguaglianza di tutte le coppie dei tempi (da approfondire).

Per posizionare m2 è necessario misurare x in anticipo, quindi conoscere L e le due velocità V1 e V2. Si dimostrerà, come segue, che le due velocità sono funzioni delle due masse e della velocità di spinta U1, grandezze già conosciute all’inizio di ogni prova (processo discutibile, vedere dopo)

Applicando i principi della conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica al nostro caso di urto elastico possiamo ricavare V1 e V2 in funzione delle due velocità, della velocità iniziale e di m1 ed m2. Proviamo a risolvere prima il caso più generale con due velocità iniziali U1 e U2 (velocità iniziale di m2) fino ad un certo punto; poi, come vedremo, dalle due equazioni trovate eliminiamo U2 continuando fino al calcolo di V1 e V2 nello specifico nostro caso!

 

CASO TEORICO PIU’ GENERALE DI URTO ELASTICO NEL QUALE ANCHE U2  SIA DIVERSA DA ZERO

Ora, trattiamo in teoria il caso che, nelle stesse condizioni precedenti, anche la m2 abbia una velocità prima dell’urto, che chiamiamo U2. Otterremo poi la misura degli spazi percorsi nel caso semplificato, azzerando, nelle formule ottenute, U2=0. Il calcolo degli spazi S1 ed S2  è importante perché, in tempi uguali, S1/S2=-V1/V2 e nello studio dell’urto elastico le velocità di rimbalzo, V1 e V2, sono legate alle masse inerziali ed alle velocità iniziali.

Due oggetti di massa diversa m1 ed m2 con velocità U1 e U2 costanti prima dell’urto si scontrano lungo una triettoria rettilinea. Devo trovare V1 e V2 dopo l’urto. Si tratta di due incognite quindi dovrò usare due equazioni. Userò il teorema della conservazione della quantità di moto ed il teorema del conservazione dell’energia cinetica.

Prima equazione → m1U1+ m2U2 = m1V1+ m2V2 *

Seconda equazione → 1/2m1U1^2 + ½ m2U2^2 =1/2m1V1^2+1/2m2V2^2

Rielaboro le due equazioni: tolgo intanto ½ da ogni termine della seconda; porto i termini con m1 sulla sinistra e quelli con m2 sulla destra raccogliendo i due fattori.

Prima equazione → m1(U1-V1) = m2(V2-U2)

Seconda equazione → m1(U1^2-U1^2) =m2(V2^2-U2^2)

Semplifico membro a membro:

U1+V1 =U2 + V2

Con questa equazione e con quella con l’asterisco imposto un sistema a due incognite da cui ricavo le due velocità incognite del rimbalzo elastico

U1 + V1= U2 + V2

m1U1+ m2U2 = m1V1+ m2V2

CASO DELL’ ESPERIMENTO IN OGGETTO

Nel caso del nostro esperimento U2=0, per cui le due equazioni del sistema diventano:

U1 + V1= V2

m1U1 = m1V1+ m2V2

Prima sostituzione

Ricavo dalla prima: V2=U1+V1 e la sostituisco nella seconda:

m1U1 = m1V1+m2U1+m2V1 porto ora nel primo membro il termine con U1 e raccolgo a fattor comune U1 e V1 ottenendo:

U1(m1-m2) = V1(m1+m2) da cui ricavo la prima incognita V1, mentre U1, velocità iniziale di m1, era stata misurata uguale per tutti rapporti U1=(13.7+/-0.3) cm/s) prima.

V1 = (m1-m2)*U1/(m1+m2) (1)  

Seconda Sostituzione

Ricavo ora sempre dalla prima: V1=V2-U1 e la sostituisco nella seconda:

m1U1 = m1(V2-U1)+m2V2; cioè: m1U1 = m1V2-m1U1+m2V2

U1(m1+m1) = V2(m1+m2) di qui si ricava la seconda incognita V2

V2 = 2m1*U1/(m1+m2) (2)

All’inizio di ognuna delle 10 prove sembrerebbe di sapere ora piazzare l’oggetto di massa m2 in un punto della rotaia opportuno (individuato da x), avendo calcolato V1 e V2 e avendo misurato da prima U1, la velocità con cui si crea l’urto!

In effetti sorge il dubbio, anche se le due velocità sono state ricavate sul piano teorico, sulla sostenibilità di questa misura di x, perché di fatto le masse sono in questo caso le inerziali, sotto misura, per cui può essere che l’ ipotesi più plausibile (Cellai), per porre m2 in un punto della rotaia, sia procedere ‘per tentativi ed errori’, operazione praticabile sulla nostra apparecchiatura, anche se forse a maggiore entropia. A questo punto si dovrebbe ‘ripulire’ lo scritto da questo ipotetico giro vizioso, prima di proporlo al pubblico? Ma noi, nel dubbio non lo faremo! Praticamente è assente sull’articolo di prof. D’Agostino la sua opinione.

Si potrebbe anche pensare che si possa dimostrare il seguente teorema: se x funziona, allora i due tipi di massa saranno uguali. Cioè attribuendo  per ipotesi ad m1 ed m2 inerziali lo stesso valore delle masse gravitazionali corrispondenti, se i due mobili raggiungessero contemporaneamente gli estremi della rotaia, allora verrebbe confermata l’ipotesi stessa. Sarebbe da approfondire e da provare.

D’altra parte è in questa ottica che epistemologi come Antiseri, Medawar ed altri hanno accusato l’articolo scientifico di “frode”. Nel senso che l’articolo scientifico che si legge non fa riferimento al ‘travaglio’ (nel senso della maieutica socratica) della sua costruzione; prima di presentarlo  esso viene infatti ripulito e appianato, eliminando i vari sbagli, i ritorni e i punti interrogativi.

Comunque sbagliare e correggersi spesso sono artifici rilevanti dell’apprendimento!

Per arrivare poi alla espressione che lega il rapporto delle due masse inerziali al rapporto degli spazi (S1/S2), il percorso è banale (si fa il rapporto V1/V2 e si uguaglia a -S1/S2, ricavando poi m1/m2).

m1/m2 = 2S1/S2 + 1

Vedere i passaggi nel link:………………DAGOSTINI10001

 

EPILOGO

Comunque, nel complesso, ci è sembrato un lavoro che ha richiesto un numero esorbitante di prove sperimentali; se abbiamo ben capito almeno 500! (+ altre 10 per il calcolo delle differenze dei rapporti fra masse gravitazionali ed inerziali per fornire il risultato finale: 5.512*10^-4). Si tratta certamente di un corposo lavoro, molto impegnativo e degno di rispetto che, “costretto” in due paginette, non poteva che diventare, almeno per alcuni aspetti, implicito e forse anche po’ criptico (mancanza del disegno della apparecchiatura sperimentale, del calcolo esplicito degli errori, esplicitazione dei percorsi…), a danno della trasparenza per una lettura semplice nelle classi; ma, secondo noi, proprio per queste caratteristiche diventa stimolo alla curiosità, al dibattito ed alla argomentazione critica sui contenuti, aspetti non secondari per l’apprendimento e l’auto-aggiornamento. Non è forse vero che è proprio per questi aspetti che noi abbiamo potuto leggerlo e commentarlo, forse con più attenzione di altri, pur lontano dalla nostra epoca? In conclusione ci auguriamo allora che questa nostra rivisitazione possa servire a stimolare studenti e insegnanti di oggi a ricercare questo lontano, ma ancora rilevante ed attuale, articolo per leggerlo con attenzione (e se possibile, criticarlo) con le loro argomentazioni critiche più ‘affilate’; è così che la conoscenza diventa biologia! Noi, nel leggere questo articolo della Fisica nella Scuola, abbiamo rinverdito un ‘sacco’ di conoscenze!

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Se, in questo blog, da CERCA battiamo il tag “massa gravitazionale ed inerziale“, possiamo leggere altri quattro posts che parlano di queste rilevanti e problematiche grandezze fisiche.

 

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LA CADUTA DEI GRAVI A PIU’ DI QUATTRO SECOLI DA GALILEO; analisi e significati di alcune sottigliezze nell’insegnamento della fisica e laboratorio al biennio superiore; a cura di Piero Pistoia et al.

CURRICULUM DI PIERO PISTOIA:

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Da rivedere…

LA CADUTA DEI GRAVI A PIU’ DI QUATTRO SECOLI DA GALILEO

Significati, analisi e sottigliezze, con un certo rischio, su alcuni aspetti dell’insegnamento della fisica e laboratorio, al Biennio Superiore; a cura di Piero Pistoia et al.

INTRODUZIONE

Riteniamo giustificato, secondo criteri epistemologici (1), psicologici (2) e didattici (3), un metodo di insegnamento della Fisica, non di tipo induttivista, ma caratterizzato, in generale, da particolari processi ipotetico-deduttivi. E’ da dire, per la verità, che, mentre per la filosofia e la logica tale metodo è falso e quindi da abbandonare, di fatto non lo è sempre per la stessa Scienza operativa e per il senso comune. Nonostante le critiche alla epistemologia popperiana (vedere i post relativi su questo blog) questa filosofia, secondo lo scrivente ed altri, è degna di rispetto perché degnamente si accorda con un insegnamento formativo nella scuola!

Consideriamo altresì che il così detto metodo sperimentale di Galileo, alla luce anche delle ultime interpretazioni del suo pensiero (4), abbia in effetti analoghe caratteristiche.

Secondo tale metodo l’insegnamento deve partire da problemi (nell’accezione data alla parola da Popper, Antiseri et al.), per arrivare, attraverso le teorie tentative di soluzione (TT di Popper), al processo sperimentale di controllo (corroborazione, falsificazione), fino al nuovo problema, fasi che devono razionalmente e consapevolmente esplicitate nel corso di un insegnamento formativo, come è un Biennio Superiore.

Diversi sono i problemi che devono essere affrontati in successione per ‘costruire’ in una classe di un Biennio, la disciplina, sotto la guida dell’insegnante, ‘alcuni’ dei quali, importanti ed obbligati in quanto innescano a cascata una sequenza di altri, sono qui di seguito sinteticamente nominati:

a – Nella caduta dei gravi con attrito trascurabile e al tempo-iniziale, t0=0 s e v-iniziale, V0= 0 m/s (condizioni al contorno), che relazione ci sarà fra velocità di caduta istantanea e tempo e fra velocità istantanea e spazio percorso?

b – Che relazione ci sarà fra modulo della forza applicata ad un oggetto, che si muova con attrito trascurabile su un piano orizzontale e il modulo dell’accelerazione acquistata (vettore forza e vettore accelerazione con stessa direzione e stesso verso)?

c – Che relazione ci sarà fra quantità di carica elettrica posta su un conduttore isolato (o su un’armatura di un condensatore e l’altra messa a terra) ed il potenziale da esso assunto? (5))

d – Che relazione ci sarà fra (Va-Vb) misurata ai capi di un resistore e la Ic misurata in una sezione di esso?

e – Che relazione ci sarà fra il flusso di induzione magnetica concatenato ad un circuito e l’intensità di corrente in esso circolante?

Ognuno di questi problemi e degli altri della stessa forma matematica non nominati deve essere discusso in classe fino a formulare una o più ipotesi plausibili (non necessariamente ‘vere’), per poi progettare un esperimento di controllo. Nella zona di ‘corroborazione’ o di ‘falsificazione’ dell’ipotesi nascerà il nuovo problema e, se l’ipotesi verrà corroborata (avvalorando magari il risultato facendo riferimenti ad analoghi esperimenti condotti in laboratori di ricerca), avremo ‘costruito in classe un ‘pezzetto’ di fisica!

In questo l’autore cercherà di analizzare il problema a, precisandone aspetti e implicazioni educative e formative, riscoprendo nella caratteristica dialogica di tipo galileiano di condurre il discorso e nei precisi e puntuali interventi di Salviati nei confronti di Simplicio, la chiave per ricostruire la fisica anche nelle classi di oggi.

ANALISI E DISCUSSIONE DEL PROBLEMA RELATIVO ALLA CADUTA DEI GRAVI

problema (a) e formulazione delle ipotesi

Focalizziamo l’attenzione e la memoria degli alunni sulla caduta di oggetti pesanti, sui quali le azioni di disturbo dell’aria sono meno evidenti, almeno per basse velocità.

Alla domanda su come si comporterà la velocità durante il movimento, si hanno in generale perplessità. I nostri ragazzi di 14-15 anni hanno o dovrebbero avere la mente del Simplicio galileiano. Alcuni conoscono già le risposte a memoria, secondo noi, purtroppo, fornite probabilmente su informazioni parziali, disperse, prima che si formulassero le ipotesi, prima che si precisassero le aspettative, prima delle delusioni dinanzi ad ipotesi sbagliate, prima insomma dei processi che innescano il vero apprendimento! E’ un po’ come insegnare direttamente le formule da imparare a mente, per poter fare da subito con esse i così detti esercizi di applicazione di esse, riportati sul libro di testo!

Qualche frammento di ricordo culturale precedente scarsamente assimilato, certi mass media, certi personal media, qualche software selvaggio e poco calibrato, avranno fornito queste nozioni fine a se stesse.

IL maggiore tradimento, pur inconsapevole, che la civiltà tecnologica abbia mai perpetrato ai danni dei cuccioli della specie secondo lo scrivente è proprio questo: sono stati gettati in un contesto tecnologico di natura altamente simbolica e lontano così dalla teorie del senso comune, pur coronato eccezionalmente da buon senso, ‘il buon senso del senso comune’, a cui gli alunni possono essere vicini, in un mondo incomprensibile, nel quale i messaggi si trasformano in nozioni isolate senza contesto da memorizzare e delle quali sfuggono le ragioni più profonde, in un mondo dove i ‘messaggi’ svuotati dal ‘mezzo’, per mutuare le parole di McLuan, annebbiano curiosità e meraviglia, uniche molle del progresso umano.

Fortunati se c’è ancora qualche Simplicio, che vede cadere dalla mano il grave subito velocemente appena lasciato. Allora, a guisa del Salviati galileiano l’insegnante può guidare la discussione, al di là di tutto, del tempo e dei programmi, delle scadenze e dei voti, delle rimostranze degli ingegneri del triennio se non ricordano le formule a mente e le definizioni…; il cucciolo dell’uomo ha il diritto di imparare a ‘costruirsi’ i propri modelli razionali, efficaci e graduali, di interpretazione del mondo. E’ solo in questa prospettiva che ha significato l’aggettivo ‘formativo’ che attribuiamo all’insegnamento della fisica al biennio superiore.

Sarebbe interessante a questo proposito compilare una serie di domande opportune che colgano in profondità le strutture di base della fisica formativa del biennio, al di là delle mere nozioni e delle meccaniche esercitazioni spicciole, e con esse preparare un questionario da somministrare agli studenti alla fine del biennio e contemporaneamente alla fine del triennio tecnico raccontando e riflettendo sui risultati comparati. Anni fa, quando insegnavo ancora, feci un tale esperimento aiutandomi nella compilazione anche con questionari sorti in testi specializzati e nelle accademie per analoghi compiti. Da questo mio unico studio risultò, stranamente, che l’insegnamento tecnico con i suoi tecnicismi, meccanismi, espedienti ed artifizi sembrò obnubilare il ragionamento fisico formativo, cioè il pensiero fisico (la Philosophia Naturalis), acquisito al biennio! Sarebbe interessante infatti, per l’insegnamento, se si potesse capire e controllare statisticamente, se davvero questa mera ipotesi fosse da considerare corroborata.

Il sasso aumenta di velocità perché urta la mano che cerca di fermarlo, con più violenza a maggior spazio percorso. Tale sforzo della mano non legato in generale alla prima potenza della velocità, ma alla seconda: noi questo lo sappiamo (anche se dobbiamo far finta di non saperlo; per iperbole, meglio sarebbe direttamente non saperlo, direbbe Foerster!), ma Simplicio non lo può sapere.

Possiamo usare così il criterio di semplicità : la prima ipotesi a questo punto che viene in mente agli alunni è la diretta proporzionalità fra V ed S, proprio come accadde anche allo stesso Galileo! (6).

Quando nella discussione di un problema concludiamo che all’aumentare di una grandezza anche l’altra, alla prima ipoteticamente correlata, aumenta o diminuisce ‘spariamo’ l’ipotesi più semplice di diretta o inversa proporzionalità rispettivamente, a meno che ulteriori approfondimenti della discussione non suggeriscano altrimenti (caso per es., della relazione fra forza gravitazionale e distanza, da affrontare in altro lavoro; vedere intervento dello stesso autore nel blog).

Scrivere oggi V=K*S sembra ‘proibito’ (vedere dopo), per ragioni però troppo lontane dalla mente del nostro alunno Simplicio; comunque essa è la ipotesi più immediata e più vicina al senso comune degli alunni (ed anche a quello di Galileo!) e la dobbiamo mettere nella discussione.

Così la classe, se è vero come è vero che la velocità aumenta anche al passare del tempo, due ipotesi ‘tentative’ saranno formulate dalla classe sul problema della caduta dei gravi, che nelle nostre condizioni al contorno, che riguardano velocità e tempo iniziali, si presenteranno come segue:

1 – La V-istantanea ed S direttamente proporzionali.

2 – La V-istantanea e t direttamente proporzionali.

PRECISAZIONI E SOTTIGLIEZZE CHE SORGONO ARGOMENTANDO SULLE DUE IPOTESI

Non è così immediato intuire per gli alunni che le due ipotesi non sono la stessa cosa. Dobbiamo così rifarci alla matematica elementare del moto uniformemente accelerato (già spiegato in cinematica fra i modelli razionali per ‘leggere’ i diversi moti possibili: se V e t sono direttamente proporzionali (sotto le solite convenzioni al contorno), si dimostra matematicamente e graficamente che V^2 ed S sono direttamente proporzionali e non V ed S, e nel dire V ed S direttamente proporzionali e V e t direttamente proporzionali si vengono ad enunciare due ipotesi diverse e alternative.

Come già accennato anche lo stesso Galileo davanti allo stesso problema formulò proprio le stesse due ipotesi, anche se su V=K*S ebbe in breve dei dubbi. Infatti, dopo avere annunciato tale ipotesi in una lettera a Paolo Serpi, subito dopo, nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche”, faceva dire per bocca di Salviati:

Quando le velocità hanno la medesima proporzione che gli spazi passati o da passarsi, tali spazii vengono passati in tempi uguali: se dunque le velocità con le quali il cadente passa lo spazio di 4 braccia furon doppie delle velocità con le quali passò le prime due braccia, [appartenenti alle 4 precedenti; nota dell’Autore] (sì come lo spazzio e doppio dello spazio) adunque i tempi di tali passaggi sono uguali”

Nello stesso moto si verrebbero a percorrere nello stesso tempo un dato intervallo di spazio e la sua metà, appartenente ad esso cosa che può accadere solo se il movimento è istantaneo (velocità infinita). Il ragionamento di Galileo può essere descritto, dalla tabella successiva, considerando X la velocità media nelle prime due braccia e 2X la velocità media in tutte le 4 braccia e, se t = S/Vm (S/t=Vm con le nostre condizioni al contorno), 2/X è l’intervallo di tempo nelle prime due braccia e 4/(2.X) e l’intervallo di tempo in tutte le quattro braccia

                                       S          Vm                t           CONCLUSIONE

Le prime due braccia      2           X              2/X                   2/X

Le quattro braccia          4           2.X            4/(2.X)              2/X

Si vedano anche le altre più qualificate e profonde argomentazioni sorte ultimamente in ambiente accademico (7) (8).

Il fatto che la discussione galileiana su un problema presenti varie sfaccettature, il fatto che esistano più modi di argomentare sull’ipotesi conseguente non significa che non si debba, come faceva Galileo – non necessariamente allo stesso modo- discutere su problemi per tentare soluzioni prima dell’esperimento. Chi vede in questo pericoli di ambiguo verbalismo, non coglie i significati profondi di un corretto discorso epistemologico e psicologico sui processi di acquisizione della conoscenza e, quello che è più grave, potrebbe sviare gli interventi per il recupero delle situazioni tutt’altro che rosee focalizzate dai diversi tests piagettiani sull’intelligenza formale del giovane di oggi (9) (10).

Consapevolmente o no, Galileo, sempre secondo l’autore dello scritto, dimostra la non coincidenza delle due ipotesi e così faremo nell’insegnamento: si formuleranno le due ipotesi e si dimostrerà in qualche modo che sono diverse e alternative se è ‘vera’ l’una , non lo sarà l’altra e viceversa.

Si passerà poi a controllare in laboratorio se è corroborata l’ipotesi V/t=K, che fornisce come proposizione sperimentabile S/t^2=K. Con l’asserzione-base S=t^2*K che è appunto la formulazione meglio sperimentabile di V/t=K, andiamo in laboratorio per il controllo. In realtà l’ipotesi in un certo ‘range’ di errore è corroborata.

Siamo così arrivati a concludere che l’oggetto (per es., una sferetta d’acciaio, se si utilizza un’apparecchiatura Leybold) cade di moto uniformemente accelerato e quindi la relazione fra velocità e spazio è del tipo V^2/S=K, moto matematicamente e fisicamente possibile, mentre la relazione V=K*S rimane esclusa sperimentalmente. L’ipotesi V^2/S=K però non era così semplice come l’altra, per cui non veniva formulata in prima istanza. Chiaramente le due ipotesi V=Kt e V^2=K*S sono fisicamente la stessa cosa.

Rimangono ora da precisare alcune sottigliezze implicate nel significato di K e quindi formulare il nuovo problema da affrontare nella successiva unità didattica. Prima però analizziamo brevemente il significato matematico e fisico della ipotesi V/S=K e V^2/S=K

ALCUNE CONSIDERAZIONI FISICO-MATEMATICHE SULL’IPOTESI V=K*S

Analisi matematica e fisica dell’ipotesi V=K*S

L’ipotesi è espressa dall’eq. differenziale a variabili separabili: dx/dt=K*(x-x0). Dall’analisi di essa, forse impossibile ai tempi di Galileo o meglio che Galileo non conosceva, deriva che, per la ricerca delle soluzioni è necessario porre la condizione che (x-x0) > < 0, perché, separando le variabili (dx/(x-x0) =K*dt) questa differenza va al denominatore, per cui nel processo si perderebbe la soluzione matematica (che invece (fisicamente) potrebbe esistere?), (x-x0)=0 m.

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Possibile significato della soluzione (x-x0)=0 (argomentazione incerta? Da rifletterci!)

Galileo_VfS

All’istante t=0 s quando x=x0 la velocità è zero e, non potendo aumentare x, non aumenta V, per cui x=xo rimane costante al passare del tempo e l’oggetto non si muove. Invece l’eq. dx/dt=K*t fornisce ancora per t=0, Vo= 0 m/s, però il tempo scorre, per cui la V può aumentare.

x=xo sembra così essere l’unica soluzione: a t=0, ovunque, del percorso x, poniamo l’origine dello spazio xo , l’oggetto ivi in quiete (Vo=0 m/s), lasciato andare, rimarrebbe in quiete (se vogliamo, si dovrebbe attendere cioè un tempo infinito per vederlo iniziare a muoversi).

IN FORMULE

dx/dt = k.x   separando le variabili:   dx/x = k.dt; integrando:    logx = k.t + logC; passando agli esponenziali:   e^logx = e^(k.t + logC),  e , ponendo C1=e^logC :

e^logx=e^kt . e^logC)

x=C1.e^kt

Se x=xo al tempo t=0, si ha che C1=xo ed      x=xo.e^kt

Se,  al tempo t=0, x=xo=0  e C1=0, si conclude che:

x = 0. e^kt e quindi      x=0

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Non esistono altre soluzioni fisiche all’equazione, perché l’integrazione per il calcolo dello spazio (equazione oraria) non può partire dal punto xo (distanza dall’origine a t=0 s), non permettendo quindi la scelta arbitraria (convenzionale) delle origini; si otterrebbe infatti, integrando l’equazione  dx/(x-x0) =K*dt  fra xo ed x, la seguente espressione, chiaramente inaccettabile:

log(x – xo) – log(0) = K*t


Analisi matematica e fisica dell’ipotesi V^2 = K*S fornisce un modello fisico che funziona

L’analisi matematica dell’ipotesi V^2 = K*S fornisce un modello fisico che funziona:

(dx/dt)^2 = K*(x-x0)

dx/dt = +/- SQR (K) * SQR (x-x0)

Separando le variabili e integrando fra x0 ed x:

2*SQR (x-x0) – 0 = +/- SQR (K)*t

Elevando al quadrato:

4 * (x-x0) = K * t^2


N.B. Dopo aver letto i due  links, tornare indietro all’articolo (cliccando sulla freccia in alto a sinistra)  per leggere l’ultima parte dell’articolo!

Per ulteriori chiarimenti e precisazioni si aggiungono in link anche le due argomentazione indipendenti di Giorgio Cellai e Pier Francesco Bianchi sulla soluzione della stessa equazione differenziale a variabili separabili:

dx/dt=K*(x-x0)

Argomentazione di Giorgio Cellai in pdf

Cellai 18-2-19

Argomentazione di Pier Francesco Bianchi in pdf

GALILEO_Pf_Bianchi0001

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Ma, al di là di tutto ciò che insegna Galileo, è il modo scientifico formativo di condurre il processo, il modo di discutere il problema, sezionandolo con tutti gli strumenti razionali conosciuti per chiarirlo e ‘sparare’ infine un tentativo di soluzione: ciò che insegna Galileo in definitiva è il modo corretto di fare lezione in una classe in cui si formano i cervelli!

FASI SINTETICHE DEI PROCESSI RAZIONALI, ‘RICCHI’ DI TRANSFER, NELL’ANALISI DEL SIGNIFICATO DELLE COSTANTI DI PROPORZIONALITA’

In generale le fasi del processo razionale davanti ad una ipotesi di diretta proporzionalità, corroborata nell’ambito dell’errore, possono essere brevemente delineate in questo modo:

1 – La grandezza derivata K non dipenderà dalle grandezze che lega, ma da altre relative a ‘qualcosa’ di rilevante che durante l’esperimento non è cambiato.

Se, in dinamica, F/a = K, il valore di K non dipenderà dalla grandezza della variabile accelerazione né dalla grandezza della variabile forza (almeno nel ‘range’ dell’errore sperimentale) e quindi potrebbe dipendere da qualche grandezza relativa all’oggetto con cui abbiamo sperimentato che immaginiamo invariato durante l’esperimento. Da quali?

Se, in elettrodinamica, (Va – Vb)/Ic = K, il valore di K non dipenderà dalle grandezze elettriche differenza di potenziale e intensità della corrente; è facile riferirci allora a qualche proprietà del conduttore su cui abbiamo sperimentato. Da quali?

Se, in elettrostatica, Q/V = K, il valore di K non dipenderà dalle grandezze eletrostatiche carica elettrica e potenziale elettrico, ma da qualche proprietà del conduttore dell’esperimento. Da quali?

2 – Il significato fisico di K nasce poi dal metterci, anche mentalmente, nelle condizioni di ripetere l’esperimento ottenendo un valore di K diverso.

Se il K di F/a dipende dall’oggetto su cui abbiamo sperimentato, immaginando un oggetto diverso, se K verrà maggiore, a parità di forza applicata, a acquistata sarà minore; cioè K dipenderà da una proprietà dell’oggetto che si configura come ostacolo all’accelerazione. Potrebbe essere già stata introdotta una grandezza fondamentale che misuri tale proprietà con la bilancia inerziale (al limite una molla tenuta compressa da un filo), con cui si può attribuire un numero e marca  alla massa Inerziale (vedere dopo).

Se il K di (Va-Vb)/Ic dipenderà da qualche proprietà del conduttore usato, cambiandolo otterremo un K diverso. Se è maggiore significherà che, per es., a parità di differenza di potenziale avrò una Ic minore: K si configura come una specie di ostacolo al passaggio della corrente (resistenza elettrica). Una successiva discussione potrà precisare la dipendenza di K dalle grandezze geometriche del filo ecc. Si innescherà una successione di problemi a cascata da affrontare in successive unità didattiche.

Se k di Q/V dipende dal conduttore caricato, cambiandolo dovrebbe cambiare K: se K è maggiore significherà che posso mettere su tale conduttore più carica, a parità di potenziale; cioè K potrebbe avere il significato di capacità elettrica di quel conduttore. Una successiva discussione preciserà la dipendenza da altre grandezze e così via.

3 – Precisazione concettuale delle grandezze investigate.

Come si vede si tratta di veri e propri processi razionali che si ripetono in ambienti diversi, favorendo il transfer concettuale all’interno della disciplina (transfer specifico di Bruner), attraverso il potente Principio di Continuità galileiano.

ASPETTI RELATIVI AI SIGNIFICATI DELLA COSTANTE DI PROPORZIONALITA’ FRA V e t

Abbiamo corroborato in laboratorio l’ipotesi V/t = K: K ha le dimensioni di una accelerazione, e, proprio perché non cambia durante il movimento, non dipenderà dalla V, né dal tempo che cambiano. Potrei così, nella falsariga degli esempi accennati nel paragrafo precedente, affermare che K venga a dipendere da qualche proprietà dell’oggetto usato per l’esperimento. Tale congettura è plausibile abbastanza a questo stadio: oggetti più o meno ‘pesanti’, per es., potrebbero avere accelerazioni di caduta diverse….Cioè dire che K dipende da qualche proprietà dell’oggetto, può voler significare, per es., che oggetti più ‘pesanti’ cadrebbero con un K maggiore (è la congettura più frequente nelle classi, a causa dei riferimenti all’esperienza quotidiana).

Nasce così il nuovo problema sul significato di K ed eventuali ulteriori problemi sulla sua dipendenza da qualche altra grandezza.

Formuliamo, per es., l’ipotesi che sperimentando con un oggetto più ‘pesante’, il K diventi maggiore: oggetti più ‘pesanti’ cadrebbero allora con maggiore accelerazione?

Lasciamo in questa fase, la discussione ad un livello basso, per sfruttare la delusione onde focalizzare l’interesse e destare ‘meraviglia’. Volendo potevamo approfondire usando anche il Teorema di Galileo sull’argomento (nota n.11), eliminando praticamente il rischio sull’ipotesi.

La classe segue motivata il nuovo esperimento sulla misura di K nella caduta e la delusione delle aspettative lascia piuttosto perplessi: la proprietà o le proprietà dalle quali sembrava dipendesse il nostro K sembra non siano relative all’oggetto scelto per l’esperimento.

Seguiranno successivamente argomentazioni insieme alla classe sui presupposti che hanno portato alla formulazione dell’ipotesi sbagliata. A questo punto possiamo anche inserire il teorema galileiano, per tranquillizzare nell’immediato la classe. Si potrà continuare anche a precisare i concetti coinvolti sperimentando col Tubo di Newton.

La discussione dovrà poi procedere facendo riferimento a dati riportati di libri e riviste: si conclude che “tutti i corpi in assenza di attrito cadono, nello stesso posto, con la stessa K (stessa accelerazione)”. Così sembra importante anche il ‘posto’, la zona di spazio dove si esegue l’esperimento, quasi che le ‘zone di spazio’ influiscano in un certo modo sulle proprietà dell’oggetto usato, spostandoci a giro per universo.

I corpi celesti infatti deformano lo spazio con una grandezza vettoriale chiamata ‘campo gravitazionale’. Il comportamento del nostro K potrebbe essere modificato proprio da tale campo: quindi l’oggetto, le cui proprietà non cambiano durante l’esperimento in un dato posto, ha a che fare anche con il corpo planetario nelle vicinanze, nella fattispecie la Terra (il ‘pesare’ degli oggetti non è forse una funzione dei campi gravitazionali nelle vicinanze?). Così il valore del nostro K risentirà di proprietà forse  intrinseche – proprietà di opporsi a K o proprietà di attrarre e farsi attrarre, cioè di ‘costruire’ K – all’oggetto usato per l’esperimento (o forse potrebbero costruirsi’ in interazione con ‘aspetti’ dello spazio vicino e lontano? Mach, Newton). Proprietà insomma che 1) ora ne ostacolano il suo valore (massa inerziale, misurabile con un bilancia inerziale), 2) ora lo aumentano (peso e mass gravitazionale, misurabili con un dinamometro opportunamente tarato e con una bilancia a bilico) – i due aspetti precedenti ne controllano la sua strana costanza, aspetto caratteristico del nostro Universo – 3) ora che dipendono dal ‘posto’ dell’esperimento, pur mantenendo la sua costanza per tutti gli oggetti usati. Il peso degli oggetti ha a che fare con la legge gravitazionale di Newton.

Newton affermava che esistevano almeno due tipi di proprietà intrinseche ad un ogni oggetto fisico collegate al concetto di massa: la massa inerziale, che rappresenta la proprietà di opporsi allo stato di quiete e moto rettilineo uniforme, cioè alla accelerazione, e la massa gravitazionale, proprietà invece di farsi accelerare e creare accelerazione in interazione con altri oggetti. Concettualmente, pur interne all’oggetto, le due masse sono concettualmente disgiunte, nel senso che non sono collegate logicamente da una argomentazione teorica; infatti le rispettive grandezze nascono da due esperimenti di misura completamente diversi. La massa inerziale utilizza per la misura una esperimento che fa riferimento al Terzo principio della dinamica, Principio di Azione e Reazione, mentre la massa gravitazionale si misura con una bilancia a bilico. Queste due misure sperimentali, di natura concettuale completamente diversa, con scelta opportuna delle loro unità,  risultano numericamente uguali per qualsiasi oggetto: una stranezza caratteristica del nostro Universo! Allora si disse: E’ così perché è cosi!
La uguaglianza numerica di esse per ogni oggetto fisico poteva essere ricavata più semplicemente anche con un ragionamento argomentativo (Newton) partendo dalla costanza dell’accelerazione di gravità g, per es., in un zona limitata dello spazio intorno alla terra, non solo durante il moto, ma per qualsiasi tipo di oggetto di qualsiasi natura. Se lascio cadere in una piccola zona un qualsiasi un oggetto di qualsiasi natura e grandezza, per le due definizioni di massa e per il Secondo Principio della Dinamica, l’oggetto, sottoposto alla sua forza peso P che, nel nostro caso, rimane circa costante per ogni oggetto durante il moto, ma varia da oggetto a oggetto, crea una accelerazione a costante per ogni oggetto, ma non è detto che abbia lo stesso valore passando da un oggetto ad un altro se P cambia. In effetti alla accelerazione finale contribuiscono i due contributi delle due masse:

a1=kMg e a2=k’/Mi

Poichè a1 è un incremento e a2 è un decremento sull’accelezazione finale, i due contributi devono essere uguali, se l’acc. finale rimane costante (accelerazione di gravità) per tutti gli oggetti in caduta, cioè g, per l’ ipotesi iniziale.

Qualsiasi oggetto prendo, per l’uguaglianza di g, a1=a2 per cui kMg=k’Mi; ne deriva kMg/k’Mg=1 e quindi, se k=k’ (opportuna scelta delle unità di misura, per le due masse), ottengo Mg=Mi. Basta si consideri che l’oggetto campione  per la massa corrisponda ad una unità di Mi e una di Mg? La differenza numerica delle due masse all’interno degli oggetti risultò dell’ordine di 10^-12. [ Nel blog, cercare “Tao…”, nota (***), ancora di Piero Pistoia].

Il problema diventa complesso: potrà o non potrà essere sviscerato in tutte le sue parti a seconda dei livelli di comprensione e di impegno delle classi di un biennio superiore.

Una cosa è certa: a più di quattro secoli da Galileo dobbiamo esser contenti se si trova ancora nelle nostre scuole, nonostante i mass media, i personal media…, qualche Simplicio che fa ancora le stesse domande ingenue a fronte degli stessi problemi e quasi allo stesso modo.

Rimane da chiederci se la nostra pesante cultura del periodo post-industriale e tecno-ragionieristico, con i suoi prodotti tecnologici così sofisticati fuori della scuola ed anche dentro la scuola (rotaie a cuscinetto d’aria, cronografi ad 1/1000 di sec…), non possa creare nella mente impressionabile dei nostri ragazzi, sovrastrutture così artificiose da impedire i livelli di maturazione normale ed il formarsi graduale di modelli calibrati di interpretazione del mondo (gradualmente sempre più simbolici) e quindi lo sviluppo armonico dell’intelligenza (9) (10).

NOTE E BIBLIOGRAFIA CONSULTATA

1 – K. Popper “Logica della scoperta scientifica”, Einaudi,1970; K. Popper “Conoscenza oggettiva”, Armando, 1975; P. Feyerabend,T.Khun, I. Lakatos et al. “Critica e crescita della conoscenza”, feltrinelli, 1976; D. Antiseri “Epistemologia e didattica delle scienze”, Armando, 1977; P- Redondi “Epistemologia e storia della scienza”, Feltrinelli, 1978.

2 – J. Piaget e B. Inhelder “De la logique de l’enfant e la logique de l’adolescent”, Puf Paris, 1955; J. S. Bruner “Lo sviluppo cognitivo”, Armando, 1973; J. S. Bruner “Il significato dell’educazione”, Armando, 1973; R. Mazzetti “Dewey e Bruner”, Armando, 1976.

3 – J. S. Bruner “Verso una teoria dell’istruzione”, Armando, 1967; M. Laeng “L’educazione nella civiltà tecnologica”, Armando, 1969; P. Pistoia, A. Pazzagli “I fondamenti psicologici ed epistemologici dell’insegnamento della fisica”, La ricerca,15-12-1977, Loescher; P. Pistoia, A. Pazzagli “I processi di e la loro utilizzazione per l’insegnamento della fisica”, La Ricerca, 15-11-1978, Loescher; A. Pazzagli, P. Pistoia “Alcuni presupposti psicopedagogici ed epistemologici della riforma della scuola superiore”, La Ricerca, 15-3-1980, Loescher.

4 – P. Wiener e A. Noland “Le radici del pensiero scientifico”, Fltrinelli, 1977; per non parlare dell’analisi del pensiero galileiano condotta da Feyerabend in “Problemi dell’empirismo”, Milano, 1971 e in “Contro il metodo”, Milano, 1973.

5 – P. Pistoia “Considerazioni critiche su un progetto programmatico relativo al processo di comprensione di una concetto fisico”, La Ricerca, 15-10-1981,Loescher.

6 – G. Galilei “Discorsi e dimostrazioni matematiche”, Salani, 1964.

7 – S. Bergia, P. Fantazzini “La Fisica nella scuola”, XIII, N.1, 1980.

8 – Elio Fabri “La fisica nella scuola”, XIV, N.3, 1981.

9 – L. Bergamasco “Didattica e sviluppo intellettuale degli studenti” da ‘Il giornale di fisica’, gennaio-marzo, 1977.

10 – P. Violino e B. Di Giacomo “ Sul livello cognitivo degli alunni delle scuole secondarie superiori” da ‘la fisica nella scuola’, luglio-settembre, 1981

11 – G. Galileo “Ma questo è, ed è insieme vero che una pietra grande si muove, per esempio, con 8 gradi di velocità, ed una minore con quattro, adunque congiungendole ambedue insieme, il composto di loro si muoverà con velocità minore di otto gradi; ma le due pietre, congiunte insieme, fanno una pietra maggiore che quella prima, che si muoveva con 8 gradi di velocità; adunque questa maggiore si muove meno velocemente che la minore che è contro vostra supposizione”

In effetti Galileo fece ben pochi esperimenti; qualcuno ha detto che forse ne fece uno solo, quello sul piano inclinato ( Galileo’s ? experiment: Myth and symbol, da Rogers “Physics for inquiring mind”, Princeton ). Galileo era un fisico teorico piuttosto che uno sperimentale. Egli usava l’argomentazione logica  in esperimenti pensati e il principio di continuità, individuato in lui da Mach, per cui si mantiene la struttura concettuale, variando lentamente, con continuità appunto, gli elementi sperimentali. Se oggetti di diverso peso (gravi) cadevano dalla stessa altezza, dovevano toccare terra con la stessa velocità, altrimenti si manifestava una contraddizione. Ammettendo che il più peso avesse velocità maggiore, collegandolo all’altro più leggero, questo oggetto composto complessivamente, più pesante di ognuno dei due, avrebbe dovuto possedere una velocità ancora maggiore rispetto al più pesante da solo. La contraddizione nasce perché, nella combinazione dei due, il leggero, a sua volta, avrebbe dovuto rallentare invece il più pesante e quindi la velocità finale dell’oggetto composto avrebbe dovuto essere in effetti minore del più pesante da solo. E’ interessante notare che la velocità, uguale per tutti i gravi, derivata logicamente, rimandi ad una proporzionalità “nascosta e profonda” fra massa gravitazionale ed inerziale per tutti gli oggetti dell’universo fisico. Sembra così che esista un legame fra il ragionamento logico, in esperimenti pensati con oggetti fisici, e le leggi profonde. Se le leggi al di sotto delle apparenze non fossero così, si potrebbero verificare contraddizioni logiche da qualche parte del mondi fisico.

Piero Pistoia

Da continuare….

 

IL TAO, CALCOLO DEL FATO, LA CARTA NATALE, I CHING, IL MIRACOLO, IL PRINCIPIO DI MACH; appunti per un lezione di Piero Pistoia; post aperto

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Vedere, in questo blog, anche il post a più articoli e a più voci dal titolo “Esiste un metodo di investigazione della Natura, alternativa alla Scienza?” post  curato dello stesso autore, di cui questa riflessione potrebbe porsi come premessa e per il concetto di massa altri articoli, cercando su questo blog per es., ‘massa inerziale’.

Fuggenti e inseguitori
eran confusi in una massa sola.

Macaulay

IL TAO, CALCOLO DEL FATO , LA CARTA NATALE, I CHING, IL MIRACOLO E ALCUNI APPUNTI PER UNA BREVE RICERCA-LEZIONE INTRODUTTIVA SUL PRINCIPIO DI MACH
Una breve riflessione scientificamente difforme di Piero Pistoia

La Carta degli oggetti del cielo al momento della nascita, Carta Natale (*) od altro analogo, come altri escamotage, per es., per certi versi, i CHING con i suoi strani esagrammi…) sono mappe da portare con noi durante la vita, pensata come “UN VIAGGIO”, e quando si viaggia abbiamo bisogno di una mappa; si possono incontrare vicoli ciechi, strade chiuse, ostacoli…, ma se sai dove si possono trovare, puoi cambiare direzione, tornare indietro, cambiare scelta…, se hai la piena consapevolezza di essere connesso con il TUTTO (Tao), con tutto ciò che ti circonda. In questo sta il miracolo che attende di rivelarsi!

Ogni evento è collegato agli altri infiniti e ciò che ti accade in quell’istante non è di natura casuale, o divina, ma condizionato dalla miriade di interferenze istantanee con il vicino e lontano universo. Tutto avviene per una ragione ben precisa. Chissà perché mi viene a mente l’olistico Principio di Mach, rivisitato dal pensiero di Berkeley, e la sua ‘cosmica’ definizione fisica di massa inerziale. Per leggere che cosa accadeva del concetto di massa nella Fisica classica, vedere nota (**). L’inerzia attribuita ad un oggetto è la sua tendenza a mantenere lo stato di quiete e di moto rettilineo uniforme, per cui, in presenza di forze esterne, nasce un’accelerazione inversamente proporzionale ad essa, e in assenza di forze continuerebbe a mantenere quel suo stato di moto. “Per noi è una gioia quando riusciamo a distogliere lo sguardo dal  Tutto e fissarlo sul particolare, ma non dobbiamo tralasciare mai di correggere e completare le nostre idee, mettendole a confronto con ciò che provvisoriamente avevamo lasciato inesplorato (Ernst Mach “La meccanica nel suo sviluppo storico critico”, Boringhieri). Allora, ci chiediamo, un corpo deriverebbe le sue proprietà, come l’inerzia, dall’interazione gravitazionale dinamica con il Tutto, in particolare con gli oggetti cosmici più lontani (galassie lontane) di massa complessivamente sempre più grande o dalle caratteristiche intrinseche dei suoi componenti microscopici come vorrebbe il riduzionismo atomistico? Un osservatore solidale alla terra in rotazione, in un universo completamente vuoto, apparirebbe davvero schiacciata ai poli? (***)

Per il Tao comunque tutto è connesso eccetto, in una metafora molto semplificata, il flusso di una specie di vento cosmico che soffia nell’aria e il flusso di una specie di acqua che scorre nel fiume, che, indipendenti da noi, non possiamo gestire. Gli uccelli non volano ma vengono trasportati e così i pesci non nuotano ma vengono trasportati. Quello che ti succede sarà il risultato delle connessioni, che non conosciamo, con tutti gli elementi a cui siamo collegati. Ciò che possiamo fare è solo cavalcare le onde di questi mari universali e le folate di questi venti cosmici mantenuti attivi da questo olismo di interazioni, aiutati, forse, dalle nostre mappe di cui siamo dotati, sperando nel miracolo.

Così i Ching, il Libro dei Mutamenti, secondo anche le convinzioni dello psicologo C. G. Jung (prefazione riportata nella traduzione, dal cinese in tedesco, di essi a cura di R. Wilhelm; in italiano: “I CHING, il libro dei Mutamenti, Adelphi edizioni, 1991”) con i suoi esagrammi elaborati ad ogni istante del tempo, le cui immagini venivano ad essere in sincronia non solo col tempo fisico, ma anche con la “qualità essenziale della situazione prevalente” al momento della loro elaborazione. L’elaborazione dell’esagramma sembrerebbe cogliere l’ interferenza globale istantanea proprio nell’istante in cui sta accadendo il nostro evento, costruendo il miracolo o la previsione del futuro, la divinazione, attivando la Saggezza (che cosa fare tempestivamente per cambiare eventualmente percorso?). I CHING, libro di Divinazione e Saggezza era già conosciuto almeno prima del 1150 A.C. per cui Confucio e Lao-Tse (quello del Tao) poterono meditare sui suoi insegnamenti. Il contenuto del Libro si fonda  sul t’ai chi, la trave maestra, e sui due  immediati opposti che ne discendono: la linea continua (________) o Yang o “Si” e la linea rotta (___   ___)  o Yin o “No” e “quasi tutto ciò che in più di tremila anni di storia cinese è stato pensato, in fatto di idee grandi e importanti, è in parte suscitato da questo libro e in parte ha influito sulla sua interpretazione, così che si può tranquillamente affermare che nell’I-CHING e contenuta l’elaborazione più matura della saggezza di millenni (Jung)”.

Chi volesse usare I_CHING per lanciare uno sguardo nel futuro, oltre ai metodi manuali descritti nel libro (lancio di tre monete, o lancio a guisa di Shangai di 49 “bastoncini” (14 cm), seccati all’ombra, della pianticella magica, Achillea millefolium, raccolta il ‘giorno’ di San Giovanni (intorno al 24 giugno), basta cercare da Google  “Oracolo con I_CHING” e poi “Consulta oracolo online” e infine “Clicca qui per consultare I_Ching con calcolo automatico” (OROSCOPO.it).

 

Concludendo questa breve riflessione, in generale gli umani hanno costruito diversi progetti per il controllo della Natura al fine dell’aumento della loro qualità della vita. Quello più accreditato e scontato è certamente la scienza con i suoi derivati tecnici e tecnologici, in particolare molto efficaci nel campo della medicina e della alimentazione. Ma alla frontiera sono sorti nel tempo, per coprire i vuoti lasciati aldilà di uno spazio-tempo limitato rispetto alla complessità del Cosmo, svariati tentativi per rispondere alle domande ‘lontane’. Sono nate così, fra l’altro, le svariate religioni con i propri riti, le proprie convinzioni intorno ad un Creatore (o ai Creatori), le proprie storie ed i propri miti, in generale dotate di strumenti potenti come la Preghiera, che sembra, stranamente, possa agganciarsi, per energie (mentali?) interne od esterne, direttamente al Reale, modificandolo (da qui il miracolo).

Mi è sempre piaciuto pronunciarmi esplicitamente su materie così incerte, difformi, poco sostenibili razionalmente, anomale, inusitate e poco condivisibili sia per il gusto di provocare, cioè attivare ripensamento e riflessione (escamotage potente per la comunicazione culturale), ma anche per innescare polemiche a fronte delle certezze degli stupidi, specialmente ora che “posso correre questo rischio perché ho superato gli ottanta anni, e le mutevoli opinioni degli uomini non mi fanno più molta impressione e i pensieri degli antichi maestri mi affascinano ed hanno per me maggior peso dei pregiudizi filosofici della mentalità occidentale” (Jung) e, poi ormai, la mia carriera si è da tempo spenta!

NOTE

(*) Quando i cuccioli degli animali superiori (o meno), ma anche piante, (flora e fauna), escono dalla protezione interna della ‘madre’ (o dall’uovo o da altro, teche bozzoli… pianta madre per le gemme..), appaiono all’improvviso, in quell’istante, con la superficie del capo (o con altro) soggetti ad una miriade di campi fisici (forze nell’unità di ‘qualcosa’) scalari o vettoriali, conosciuti o sconosciuti, o di altro tipo (segnali, per es. a velocità infinita) emessi da sorgenti collegate a corpi (conosciuti o sconosciuti) dell’Universo vicino o lontano o dalle profondità del Cosmo.
Così dal buio dei tempi, almeno a partire dal 700 A.C.N. (Babilonesi), si iniziò a pensare, in progredire, che oltre alla Memoria Biologica (oggi DNA) e Memoria Culturale (trasmissione educativa, sembra anche prima dell’uscita), gli esseri viventi potessero avere impressa, in qualche modo, nell’istante della loro comparsa dinanzi all’Universo, anche una memoria chiamata appunto Memoria Astrologica (leggere in questo blog, il post dal titolo “Insegnamento della fisica….; Dott. Prof. Piero Pistoia; Parte Seconda, Schema Sviluppo Cognitivo”)

Col tempo, a) attraverso l’intuizione, poi b) per tentativi ed errori, di seguito c) con l’evolversi anche dell’astronomia, iniziando a conteggiare sempre più le frequenze degli accadimenti in funzione delle posizioni dei corpi nel cielo (lo stesso Galileo computava oroscopi!), infine d) con l’applicazione della statistica ad un numero sempre più grande di eventi, sembra che oggi siamo arrivati a corroborare certe ipotesi relative all’influsso del cielo sui comportamenti umani e non solo (si pensi alla luna sui processi di crescita dei vegetali ecc.), ma talora anche su certe tendenze caratteriali ed altro. Vedere l’interessante saggio “Astrologia – Scienza o Superstizione?; H. J.Eysenck, psichiatra e psicologo del comportamento e D. K. B. Nias, entrambi della London University Institute of Psychiatry”.

Sembra comunque che le ipotesi vengano corroborate, cioè risultino rilevanti statisticamente, anche se con legami deboli: relativo a questo, vedere ancora su questo blog, “Un esempio di analisi statistica: la cerca degli Unicorni; di Piero Pistoia”.

Per leggere il link seguente cliccaci; poi torna indietro cliccando sulla freccia in alto a destra; leggerai così il resto del post.

Nota_carta_cielo

 

Note sul Principio di Mach, appunti per una ricerca didattica o per una breve lezione introduttiva

(**) Se la quiete e il movimento di un qualsiasi oggetto dell’Universo sono relativi ad un sistema di riferimento fisico (Berkeley, Mach) e non relativi ad uno spazio teoricamente definito, se  l’oggetto in questione è solo nell’Universo, allora…

Già Newton affermava che esistevano almeno due tipi di proprietà intrinseche ad un ogni oggetto fisico collegate al concetto di massa: la massa inerziale, che rappresenta la proprietà di opporsi allo stato di quiete e moto rettilineo uniforme, cioè alla accelerazione, e la massa gravitazionale, proprietà invece di farsi accelerare e creare accelerazione in interazione con altri oggetti. Concettualmente, pur interne all’oggetto, le due masse sono concettualmente disgiunte, nel senso che non sono collegate logicamente da una argomentazione teorica; infatti le rispettive grandezze nascono da due esperimenti di misura completamente diversi. La massa inerziale utilizza per la misura una esperimento che fa riferimento al Terzo principio della dinamica, Principio di Azione e Reazione, mentre la massa gravitazionale si misura con una bilancia a bilico. Queste due misure sperimentali, di natura concettuale completamente diversa, con scelta opportuna delle loro unità,  risultano numericamente uguali per qualsiasi oggetto: una stranezza caratteristica del nostro Universo! Allora si disse: E’ così perché è cosi!
La uguaglianza numerica di esse per ogni oggetto fisico poteva essere ricavata più semplicemente anche con un ragionamento argomentativo (Newton) partendo dalla costanza dell’accelerazione di gravità g, per es., in un zona limitata dello spazio intorno alla terra, non solo durante il moto, ma per qualsiasi tipo di oggetto di qualsiasi natura. Se lascio cadere in una piccola zona un qualsiasi un oggetto di qualsiasi natura e grandezza, per le due definizioni di massa e per il Secondo Principio della Dinamica, l’oggetto, sottoposto alla sua forza peso P che, nel nostro caso, rimane circa costante per ogni oggetto durante il moto, ma varia da oggetto a oggetto, crea una accelerazione a costante per ogni oggetto, ma non è detto che abbia lo stesso valore passando da un oggetto all’ altro se P cambia. In effetti alla accelerazione finale contribuiscono i due contributi delle due masse:

a1=kMg e a2=k’/Mi

Poichè a1 è un incremento e a2 è un decremento sull’accelezazione finale, i due contributi devono essere uguali, se l’acc. finale rimane costante (accelerazione di gravità) per tutti gli oggetti in caduta, cioè g, per l’ ipotesi iniziale.

Qualsiasi oggetto prendo, per l’uguaglianza di g, a1=a2 per cui kMg=k’Mi; ne deriva kMg/k’Mg=1 e quindi, se k=k’ (opportuna scelta delle unità di misura, per le due masse), ottengo Mg=Mi. Basta si consideri che l’oggetto campione  per la massa corrisponda ad una unità di Mi e una di Mg? La differenza numerica delle due masse all’interno degli oggetti risultò dell’ordine di 10^-12.

Per leggere un frammento del pensiero galileiano sulla velocità di caduta dei gravi cliccare sul link; èpi tornare indietro per leggere il resto del post, cliccando sulla freccia in alto a destra.

Galileo_ caduta gravi1

 

Vediamo  ora di collegare concettualmente le due masse.

………………………….

(***) Un osservatore in quiete con la Terra, comunque essa acceleri in un universo vuoto, non percepisce alcuna forza di inerzia, perché ogni moto è relativo (Principio di Mach). Le forze di inerzia infatti verrebbero avvertite solo da un osservatore, in quiete in un sistema come la Terra, che ruoti con essa rispetto essenzialmente a corpi lontani dell’Universo. Sembra così che quello che conta, ed è essenziale, per far nascere forze di inerzia, sia la presenza di svariati corpi nell’Universo e quindi… la gravitazione dinamica. Non può esserci inerzia di materia nei confronti dello spazio, ma solo inerzia di materia verso la materia (Einstein). L’esplosione, per una intensa forza centrifuga, di un volano ruotante rispetto ad una entità non osservabile,  equivale ad ammettere con John Donne che “Angeli  che hanno un corpo come è  la spuma, come è il vapore, come è un sospiro, eppure con un tocco disgregano… una macina di mulino in farina”. L’introduzione dello spazio assoluto di Newton sembra portare anche a contraddizioni logiche autoreferenti: per rilevare la rotazione della Terra rispetto allo spazio assoluto si possono utilizzare solo la forza centrifuga e quella di Coriolis, ma lo spazio assoluto fu inventato proprio per spiegare l’esistenza di queste forze (Sciama)! Non est multiplicanda entia praeter necessitatem! (Rasoio di Occam).

Come si vede questo Principio dell’Empiriocriticismo di Mach è un tentativo di razionalizzare la relazione fra inerzia e gravità: l’inerzia non sarebbe una caratteristica interna dei corpi, ma la conseguenza dell’azione gravitazionale su un corpo prodotta da corpi lontani in moto accelerato nell’Universo. Allora una particolare azione più o meno mediata dalla gravitazione  dei corpi  lontani in moto accelerato ‘costruisce’ forze di inerzia sui corpi bersaglio (o direttamente l’inerzia dei corpi)?

I tre schemi che seguono sono stati ripresi dal testo di SCIAMA (opera citata successivamente) e ringraziamo autore e editore se permetteranno di mantenerli in cambio della nostra tacita pubblicità. Essi rappresentano i primi passi verso la ‘costruzione’ della legge attraverso cui gli oggetti accelerati nell’Universo lontano costruiscono le forze di inerzia rendendole da ‘apparenti’ a ‘reali’,  fornendo informazioni sulla natura della connessione fra le stelle e la materia locale, problema che Mach non affrontò, e per questo fu soggetto a critiche; in tal modo si rese più credibile questa interazione.

Fig.1 – le forze in riga doppia, le accelerazioni in riga semplice
a) Una  carica elettrica o una massa gravitazionale in quiete o stazionaria agisce su un’altra con la legge di Newton in tutto simile a quella di Coulomb.
b) se invece la carica o la massa gravitazionale hanno una accelerazione (linea semplice), sviluppano sull’altra in basso una forza trasversale inversamente proporzionale alla distanza e non al quadrato di essa e direttamente proporzionale alla componente trasversale della loro accelerazione;  per cui è zero se la carica o la massa non sono accelerate.
c) Forza totale esercitata da una carica o massa soggette ad accelerazione.

 

Dennis William Sciama afferma che corpi lontani, se accelerati sviluppano una gravitazione diversa da quella standard, una speciale onda gravitazionale per certi versi simile a quella di una carica che accelera (Fig.1); in passaggi semplificati Sciama ne ricava anche la legge in formula, che da un risultato uguale a quella della forza di inerzia da ‘costruire’ (D. W. Sciama “L’unità dell’Universo”, cap. VII°, VIII° e IX°; Einaudi), a partire da quanta forza di gravità sia prodotta da una stella in moto accelerato.

Interessante notare che si parla sempre di oggetti lontani (galassie); ciò si capisce se pensiamo 1) che le stelle, immaginate distribuite su gusci sferici di superficie direttamente proporzionale a R^2, con questo ritmo diventeranno sempre più numerose ; 2) che la capacità di ‘costruzione’ delle forze inerziali sia proporzionale alla loro densità e quindi ad R^2 e inversamente proporzionale ad R (didascalia b, Fig.1); 3) risulterà che la capacità di ‘costruire’ forze inerziali alla distanza d=R, aumenterà con d, per cui è necessario, nelle argomentazioni guardare ‘lontano’ alle stelle al bordo dell’Universo.

Perché fu considerata più plausibile l’ipotesi  di un tipo di meccanismo gravitazionale per l’influsso attivato dai corpi lontani al fine di ‘costruire inerzia’?

Sorprendente in questo senso è che l’ac che ne deriva non dipende dalla massa che subisce l’influenza, cioè le forze di inerzia come la forza gravitazionale che agiscono su oggetto devono essere proporzionali alla massa. Per es., quale che sia la massa del pendolo di Foucault posto al polo, il suo piano di oscillazione ruota sempre con la stessa velocità (un giro al giorno), ne deriva che l’influenza delle stelle (non può essere di natura elettrica o magnetica, perché le accelerazioni indotte di tali forze dipendono dalla massa, dalla carica o dalle proprietà magnetiche del corpo bersaglio, non inducono la stessa ac  in tutti i corpi (per es., se neutri ac=0). Se la caduta dei gravi di qualsiasi grandezza e natura è sempre g, cioè l’Universo comunica la stessa accelerazione a qualsiasi oggetto di qualsiasi massa, è sensato ipotizzare, per ricavare la legge dell’influsso, che essa sia di natura gravitazionale. (da H. Bondi, D. W. Sciama et al. “Cosmologia a confronto” Universale Scientifica Boringhieri, cap. VIII). Allora campi gravitazionali e campi delle forze apparenti non sono distinguibili?!

 

Fig.2
a) Se le stelle (galassie) non hanno accelerazione la forza inerziale totale  è zero e non ci sono forze inerziali.
b) Quando le stelle (galassie) hanno accelerazione, esercitano sulla terra una forza gravitazionale che è la forza inerziale nella stessa direzione dell’accelerazione delle galassie.

 

Einstein fu affascinato da questo Principio e allo scrivente non risulta che questa ‘teoria’ (o ipotesi, visto che Mach al tempo non ne fece mai una teoria matematicamente strutturata) sia stata falsificata sperimentalmente, e che, quindi, ancora oggi, con le successive elaborazioni sembra debba essere considerata corroborata, anche se, certamente, meno elegante della Relatività di Einstein; per questo nel secolo scorso questo principio fu ripreso e sviluppato da svariati ricercatori, come, appunto W. Sciama, H. Bondi, W. Bonnor ed altri.  Le forze di inerzia (forze centrifughe, forze di Coriolis, e tutte le altre che appaiono come forze apparenti da sistemi non inerziali nella fisica classica) vengono ‘applicate’ sugli oggetti bersaglio da masse gravitazionali accelerate, in particolare oggetti lontani dell’Universo, calcolate basandoci sulle  stesse formule delle cariche accelerate, sostituendo semplicemente la massa alla carica elettrica.

Fig.3 – somiglianza fra forze magnetiche e forze di Coriolis
a) Forza magnetica su carica in movimento con velocità V che agisce a novanta gradi col campo di induzione magnetica B e con la  direzione della velocità della carica, con verso tale da vedere ruotare il vettore V sul vettore B in senso antiorario di un angolo minore di un piatto (F=qV.B dove . sta per prodotto vettore)
b) La forza di Coriolis  agisce come quella magnetica se si sostituisce al campo magnetico la velocità angolare del sistema ruotante di riferimento.

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SI TERMINA CON DUE IMPORTANTI FATTI SPERIMENTALI  CHE RIASSUMONO IL PROBLEMA ACCENNATO

La conclusione in ambedue in casi è:  1) siamo in accordo con Berkeley e Mach, che esista cioè una connessione causale fra moti locali e corpi lontani dell’Universo (galassie e non stelle fisse che ruotano intorno al centro della Via Lattea ); oppure  2) i risultati degli esperimenti devono essere considerati una semplice coincidenza.

PRIMO FATTO SPERIMENTALE

Supponiamo che l’esperimento del secchio ruotante di Newton venga eseguito con gran precisione al Polo Nord.

1 – Si potrà osservare intanto che anche quando secchio ed acqua sono in quiete sulla terra, la superficie dell’acqua risulta leggermente curva. Infatti il sistema secchio-acqua ruota insieme alla Terra e con essa subisce una interazione gravitazionale con le galassie lontane; anche la terra si appiattisce ai poli e rigonfia all’equatore.

2 – Lasciamo ora ruotare il secchio fino a comunicare il moto all’acqua, ma nel verso contrario alla rotazione della Terra (da est ad ovest in senso orario dal Nord celeste), quando le due rotazioni si bilanciano, la superficie dell’acqua diviene piatta. Berkeley e Mach prevedevano proprio che fosse la rotazione relativa alle galassie lontane la causa della curvatura, e, se non vi fosse rotazione relativa agli oggetti dei cieli lontani, la superfice sarebbe piatta. Per Newton significava che per caso le galassie non ruotavano rispetto allo spazio assoluto.

Chi non accetta questo punto di vista considera questo risultato sperimentale una semplice coincidenza casuale. Infatti per Newton significava che per caso le galassie non ruotavano rispetto allo spazio assoluto. Un corpo che non risulta in rotazione quando studiato con il sistema del secchio con acqua o del pendolo di Foucault non lo è neppure rispetto alle galassie lontane.

(Abbiamo seguito il percorso logico da “Universo in espansione” di W. Bonnor, fisico-matematico cosmologo, per l’editore Boringhieri)

SECONDO FATTO SPERIMENTALE

Due sono i modi sperimentali di misurare la rotazione della terra:

1 – Uso del pendolo di Foucault che è un pendolo composto; si tratta di un grave sospeso ad un giunto universale in modo da essere libero di oscillare in tutte le direzioni; se in un sistema inerziale per la fisica classica il piano di oscillazione si mantiene invariato nello spazio, la Terra gli ruota sotto.  Ammettiamo per semplicità oscilli al polo; un osservatore posto sulla terra vedrà che il piano di oscillazione fa un giro in 24 ore; questo moto del piano di oscillazione può essere attribuito alla forza di Coriolis, da cui si può misurare la velocità di rotazione con osservazioni compiute solo sulla superficie della Terra, cioè  dinamicamente rispetto ad un sistema idealizzato di riferimento (spazio assoluto di Newton).

2 – E possibile anche  misurare la velocità di rotazione angolare  della Terra con un metodo completamente diverso, cioè astronomicamente rispetto  alle galassie lontane.

Le due misure coincidono perfettamente (a meno di errori sperimentali) e questa coincidenza per Berkeley e Mach sarebbe un fatto di importanza primaria, se possiamo trovare una connessione casuale fra moto delle galassie e lo stato di moto dei sistemi di riferimento inerziali.

Un’influenza dal riferimento locale verso le galassie lontane non è accettabile, per cui si deve ammettere che il sistema locale sia determinato in qualche modo dalla media del moto degli oggetti astronomici distanti (Principio di Mach).

Per gli altri ricercatori che non accettano la precedente spiegazione si tratterebbe di una semplice coincidenza casuale.

(Abbiamo seguito il percorso logico da “L’unità dellUniverso” di D. W. Sciama, fisico teorico, cosmologo, per l’editore Einaudi)

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Chi non si pone domande non troverà risposte

Interessante comunque sarebbe riuscire a focalizzare in maniera organica, in questo blog, una comunicazione accessibile proprio sulla differenza concettuale fra questo Principio e le Relatività di Einstein, in particolare sulle potenzialità predittive di queste teorie e su altri aspetti previsti dalle nuove epistemologie. Che cosa è rimasto del Principio machiano nelle teorie della Relatività di Einstein? E’ giusto considerare questo Principio  come un processo teorico sull’origine del concetto di massa, da tempo caldeggiato, che verrebbe a essere  solo di tipo gravitazionale? E se nell’Universo esistesse un unico corpo, questo non avrebbe né massa gravitazionale, né massa inerziale? E la massa come quantità di materia? Forse, se le nostre domande e perplessità fossero senza senso e non è detto che non lo siano, sarebbe apprezzabile che qualche fisico teorico, come per es. l’accademico prof. Marco Rosa-Clot (che in più occasioni ha dimostrato cura ed attenzione per la didattica e l’epistemologia della fisica, come risulta da alcune delle sue molteplici pubblicazioni, anche di tipo divulgativo,  talune riportate anche su questo sito) volesse dire, in proposito, la sua, cercando di chiarire e correggere, in questo blog alla ‘frontiera’ della Scuola.

 

Questo post è ancora in via di sviluppo, ma, spero, per poco. A meno che non arrivino altri contributi.

 

piero pistoia curriculum ok

 

L’INTERAZIONE GRAVITAZIONALE, UNA DELLE FORZE PIU’ INTRIGANTI DELL’UNIVERSO: post aperto a vari interventi; a cura del dott. P. Pistoia

 

Curriculum di piero pistoia:

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Testo rivisitato da il ‘Sillabario’ n. 3 1997 e da ‘Didattica delle scienze’, Brescia, n. 200 1999

UN POSSIBILE “RACCONTO” SULL’ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE
Appunti per una lezione
del dott. Piero Pistoia

L’Autore propone una <<narrazione>> inusitata, non conforme alla storia, fruibile didatticamente, utilizzando il processo di acquisizione di conoscenza dell’epistemologo Karl Popper

Introduzione

Nell’Universo le forze che gli oggetti scambievolmente sprigionano gli uni sugli altri sono essenzialmente di due tipi: a) forze di contatto, quando l’uno spinge l’altro o lo tira attraverso una zona di contatto; b) forze a distanza, quando due oggetti separati (anche nel vuoto) interagiscono fra loro. Le forze a contatto sono anch’esse forze a distanza, ma a livello molecolare o atomico.
Per spiegare come sia possibile una trasmissione di forze a distanza, si immagina che i due corpi si scambino continuamente particelle opportune come due bambini che sono legati dallo scambio continuo della palla che si lanciano durante il gioco e più alta è la frequenza di scambio e più sono legati.

Individuazione di un percorso

Consideriamo il Sistema Solare. Ammettiamo in prima approssimazione che i pianeti ruotino di moto circolare uniforme intorno ad un centro comune che è occupato dal sole, pressappoco su di un piano. Per ruotare di tale moto i pianeti hanno bisogno di una accelerazione? Se non c’è accelerazione, non c’è cambiamento di velocità nè in direzione nè in intensità, per cui il moto sarebbe rettilineo uniforme! Quindi deve esistere un’accelerazione che determini il cambiamento in direzione del vettore velocità, ovvero l’accelerazione centripeta:

ac = V2/R = 4*π2*R/T2

La dimostrazione di questa formula si trova in tutti i testi di Fisica: si inizia disegnando due vettori velocità sulla tangente all’orbita in punti ‘vicini’ (∂t piccolo); si sottraggono come applicati allo stesso punto; l’angolo fra i due vettori è uguale all’angolo al centro (α=dS/R) e …così via.

Se c’è un’accelerazione, per il secondo principio della dinamica deve esistere anche una forza applicata a ciascun pianeta tale da sviluppare un cambiamento opportuno nella direzione del vettore velocità (il modulo della velocità non cambia), cioè da ‘costruire’ questa accelerazione centripeta, rivolta come la forza verso il centro. Concludendo, un pianeta potrà ruotare perchè c’è una forza opportuna che lo tira verso il centro. Perchè allora non cade nel centro? Domanda mal posta! Cade in effetti continuamente verso il centro rimanendo però sulla traiettoria circolare. Infatti la velocità periferica del pianeta se agisse da sola lo sposterebbe, nel tempuscolo ∂t, di v*t lungo la tangente, allontanandolo dal centro di un tratto ∂R (segui sulla Fig.1); la presenza dell’accelerazione centripeta fa contemporaneamente cadere il pianeta verso il centro di ∂R (dove ∂R =1/2*ac*∂t2), per cui il pianeta muovendosi si troverà sempre su una circonferenza. Ma guardiamo perchè accade proprio questo. Sempre osservando la Fig.1., è: ∂y = S*sen(α/2) e ∂x/∂y =tgα; al tendere a zero di α, da un certo punto in poi, in termini fisici, il seno e la tangente si confondono con i relativi archi, cioè ∂y = S*(α/2),  ∂x = ∂y*α e ∂x = S*(α2/2). Così, per α che tende a zero, ∂x va a zero più velocemente di ∂y, per cui ∂R, da un certo punto in poi (sempre dal punto di vista  fisico, e non matematico) coinciderà con ∂y e quindi con l’arco che insiste su α/2, mentre  v*∂t coinciderà con S e, infine, ∂R = v*∂t*α/2. Da quest’ultima, con semplici passaggi, tenendo conto che α=S/R (gli angoli sono misurati in radianti) si perviene a: ∂R = 1/2*ac*∂t2  (Fig.1, disegnata dall’autore). Il moto di caduta verso il centro nel percorrere ∂R è uniformemente accelerato per ∂t abbastanza piccolo.

 

GRAVITAZIONE_forza centripeta

Si tratta di uno schema razionale fisico nel senso che le diverse coincidenze, al diminuire di α, sono nei limiti degli errori delle misure che intendiamo possibili sul fenomeno stesso; nel contesto, l’analisi matematica si pone solo come una specie di strumento regolativo, anche se potente.

In effetti i pianeti sono come enormi <<sassi>> che ‘cadono’ sul sole mentre ruotano e le accelerazioni centripete dei pianeti non sono altro che le accelerazioni di gravità verso il sole a quella distanza. Senza entrare nel merito del come e del perchè, non conviene mai rispondere <<il pianeta non cade perchè la forza di attrazione è bilanciata dalla forza centrifuga di ugual direzione intensità e verso opposto pure applicata al pianeta>>. Se fosse così la resultante delle forze sarebbe zero e il moto non potrebbe essere circolare uniforme ma solamente rettilineo uniforme! I pianeti fuggirebbero lungo la tangente alla traiettoria perdendosi nello spazio. La ‘vera’ forza centrifuga, uguale alla centripeta per il 3° principio della dinamica,  è di fatto applicata sul sole, che sotto essa, ruoterà anch’esso, ma intorno al centro di massa Terra-Sole, situato a pochi centimetri dal centro dell’astro! L’uso spesso poco oculato del concetto di forza centrifuga  e delle altre forze apparenti nella scuola italiana sarebbe da investigare; casi analoghi si ritrovano nella ricerca di spiegazioni relative, per es., alla forza di marea  ecc.. Pesanti dimostrazioni basate sul nulla?

Ma tornando al nostro obbiettivo, perchè i pianeti ruotino, hanno bisogno di una forza centrale che sviluppi un’accelerazione tale da far cambiare direzione al vettore velocità, costringendo l’oggetto a descrivere una circonferenza (in prima approssimazione). Queste forze e le loro accelerazioni <<guardano>> verso il centro di rotazione, dov’è situato il Sole. E’ allora facile pensare al Sole come responsabile di tutte queste forze. Cerchiamo ora di ‘scoprire ‘ la legge che le regola.

Per risolvere questo problema utilizzeremo la sequenza , sotto forma di schema, proposta da K. Popper nell’acquisizione di conoscenza:

Problema1 → Tentativi di soluzione, ipotesi provvisorie (Tentative Theory, TT) → Eliminazione critica dell’errore (Error’s Elimination, EE) → Problema2

Nella fase EE si risolve il processo di falsificazione, che <<necessariamente tocca>> il Reale, il mondo, la Natura, come privazione, tramite l’argomentazione critica o il laboratorio, sia esso standard oppure offerto dalla Natura. Per ulteriori approfondimenti vedere, per es., K. R. Popper, Epistemologia, razionalità e libertà, Armando, 1972,pp.23 e seguenti;, pp 107-108; K. R. Popper, Tutta la vita è risolvere problemi, Rusconi, 1996, cap. I; Per l’applicazione della sequenza proposta alla didattica, P. Pistoia, La teoria dell’errore e l’uso del computer in laboratorio, in <<Didattica delle Scienze>> n. 132, novembre 1987.

Tentative Theory (TT) di K. Popper

Trattandosi di forze a distanza, come già accennato, immaginiamo che il Sole emetta N particelle al secondo intorno a sè, particelle speciali che si propagano per es., con velocità della luce, c, nelle diverse direzioni dello spazio ‘senza perdersi per la strada’. Immaginiamo altresì che la potenza di emissione, N, sia legata ad una proprietà posseduta in maggiore o minore grado da tutti gli oggetti dell’Universo, la proprietà di attrarre e farsi attrarre, detta massa gravitazionale nel caso del Sole N=K*Mgs, da non confondere con la massa inerziale (proprietà degli oggetti dell’Universo di opporsi a farsi accelerare); queste masse, concettualmente profondamente diverse, sono  stranamente proporzionali nel nostro mondo fisico noto (come richiesto anche dalle nostre ipotesi). Se ciò è vero, in ogni oggetto il rapporto fra queste due proprietà è costante  e se scelgo per la loro misura uno stesso oggetto (scelgo cioè come massa gravitazionale Mg unitaria quella dell’oggetto (che considero campione e lo conserva da qualche parte) che ha pure massa inerziale Mi unitaria, le due grandezze in ogni oggetto saranno anche numericamente uguali (da rivedere).

Ammettiamo ora che la densità di queste particelle, indipendente dagli oggetti che ne risentono, possa misurare, in un certo luogo, l’intensità della forza per unità di massa gravitazionale (F/Mg=g=campo gravitazionale) che avrebbe anche dimensioni e significato di un’accelerazione di natura simile a quella di gravità g.
Per il modo in cui le nostre ipotesi sono formulate, queste accelerazioni di caduta, come i corrispondenti campi, non risentono delle caratteristiche degli oggetti che le subiscono (proprio come l’accelerazione di gravità in un dato punto della superficie della terra, che è la stessa per tutti gli oggetti con un errore relativo di 3*10^-10, secondo le misure di Eotvos). E’ questo fatto a determinare la già accennata proporzionalità diretta fra massa gravitazionale e massa inerziale. L’equivalenza fra le due masse è uno degli aspetti fondanti della Relatività Generale.

Siamo pronti a proporre due ipotesi ‘tentative’ che potrebbero risolvere il problema.
– Se l’emissione avviene su un piano (ipotesi suggerita dall’esistenza del piano dell’eclittica), le particelle emesse in un tempuscolo ∂t (in numero uguale a N*∂t) si troverebbero incluse, dopo un certo tempo t, in una stretta corona circolare di area 2*π*R*∂R e di altezza ∂R=c*∂t, approssimativamente distante R=c*t da Sole, dove c è la velocità della luce; per cui considerando N*∂t il numero di particelle emesse in ∂t, esse presenterebbero alla distanza R una densità superficiale pari a N*∂t/( 2*π*R*c*∂t). L’intensità della ac sarebbe allora proporzionale a N/(2*π*R*c); così, poiché nel nostro caso N, 2, π e c sono costanti, ac sarebbe inversamente proporzionale alla distanza delle particelle dal Sole (PRIMA IPOTESI).

– Se l’emissione avviene in tutte le direzioni dello spazio, lungo tutti i raggi della sfera costituente il Sole, le particelle emesse in un corpuscolo ∂t (uguali a N*∂t) sarebbero incluse, dopo un certo tempo t, in una corona sferica di volume 4*π*R2*∂R distante approssimativamente R da Sole, per cui l’ac sarebbe proporzionale a N/(4*π*R2*c) che è appunto la densità di volume.
Come si vede, ac sarebbe inversamente proporzionale a R2 (SECONDA IPOTESI), cioè: ac=K°*Mgs/(4*π*R2*c), dove K° riassume: 1) la costante nella relazione fra potenza di emissione del corpo che genera il campo e la sua massa gravitazionale; 2) la costante che lega il campo alla densità di particelle emesse. Il valore di K° è una caratteristica dell’Universo conosciuto, per cui andrà misurato sperimentalmente.

Poichè pianeti e Sole hanno le stessa caratteristiche di qualsiasi altro oggetto dell’Universo ( a differenza di quello che si pensava nel Medioevo), le due ipotesi valgono per l’interazione di due oggetti planetari qualsiasi, e per qualsiasi altra coppia di oggetti.

grav1

Error’s Elimination (EE) di K. Popper

Un modo per mettere alla prova le due ipotesi è misurare, per es., varie aci (ac1. ac2…) a diverse distanze Ri (R1,R2…) dal Sole corrispondenti alle posizioni dei pianeti e controllare le inverse proporzionalità con gli Ri e Ri2. Il calcolo delle aci è ricavabile da altre grandezze astronomiche conosciute come velocità orbitali medie, distanze e tempi di rivoluzione (Tab.1)

– Un primo tentativo di controllo è confrontare l’ac alla superficie della Terra (R1=RT)  (per l’emissione gravitazionale, un oggetto pressochè sferico si immagina come un punto-massa concentrato nel centro) e, per es., alla distanza della Luna (R2=RL=60*RT). Se un corpo potesse ruotare alla superficie della Terra, l’unica possibilità sarebbe che la sua accelerazione centripeta acT fosse uguale a g=9.81 m/s2. Ma data la natura dell’ac. centripeta dei pianeti, vera e propria accelerazione di gravità, era inutile immaginare una rotazione alla superficie della Terra!

Faccio acquisire intanto alle due ipotesi le seguenti forme:

PRIMA IPOTESI

g*RT=acL*RL;                  g/acL=RL/RT=60;

Quindi:

acL=9.81/60=0.1635 m/s2;

SECONDA IPOTESI

g/acL=RL2/RT2=3600

quindi:

acL=9.81/3600=0.00273 m/s2;

Per il controllo, calcolo il valore  di acL con RL= 384000 Km e il periodo di rivoluzione T=27.3 giorni. Se un giorno equivale a 86400 s, il risultato è:

acL=4*π2*R/T2=0.00272 m/s2

Si falsifica la prima ipotesi e si corrabora e si rafforza la seconda.

– Come secondo intervento EE posso ora calcolare le aci di tutti i pianeti e registrarle con le loro distanze da Sole (tab.1); ripetiamo i controlli aci*Ri e aci*Ri^2 annotando i valori per ogni pianeta (per calcolare le aci*Ri basta elevare al quadrato le rispettive velocità orbitali medie: aci*Ri=V^2/Ri*Ri; dalla tab.1 si corrobora ancora la seconda ipotesi.

Discussione sui risultati

I risultati convalidati sono riassunti nell’espressione media seguente: ac*R2 = K’=1.33*10^11 Km3/s2  con un Errore Assoluto Accidentale (da non confondere con lo strumentale) εa=0.02 Km3/s2   (εa = semidifferenza dei valori estremi). Per cui:

ac*R2 = K’=(1.33 +/- 0.02)*10^11  Km3/s2

La costanza dei prodotti ac*R2 (tab.1, quinta colonna), calcolati variando pianeti e distanze, rimanda a qualche grandezza che è importante nel processo e che non sia cambiata. E’ plausibile pensare che la costante di proporzionalità ed il suo valore siano attribuibili proprio alla potenza di emissione del Sole e quindi alla sua massa gravitazionale. Per cui potremo scrivere che K’=K*Ms, da cui è possibile ricavare  il valore di K, conoscendo la massa del Sole che è: Ms=1.9891*1030 Kg.

Si riporti K’ nel sistema MKS:

K’=1.33*1011*(103 m)3/s2=1.33*1020 m3/s2.

Così:

K=K’/MS=1.33*1020/1,9891*1030= (6.7 +/-  0.1)*10-11 Kg-1 m3/s2;

Poichè 1 Kg * m/s2 = 1 N, l’unità di misura di K è Nm2/Kg2.

Tale costante, ottenuta ad alta precisione in laboratori specializzati, è pari a (6.668 +/- 0.005)*10-11 Mm2/Kg2, con due cifre significative in più del nostro valore.

Nonostante le varie approssimazioni, il nostro risultato  ottenuto usando come laboratorio il sistema solare è soddisfacente  (con un errore relativo massimo dell’1.5%)

E’ da notare che la costanza dei prodotti ac*R2 è un modo alternativo di enunciare la terza legge di Keplero, poiché ac*R2 è uguale simbolicamente a 4*π2*R3/Te quindi risulta corroborata anche la terza legge di Keplero.

In conclusione, se ac corrisponde, come abbiamo già accennato, alla forza nell’unità di massa, avremo:

F/m=K*Ms/R2                                                         (2)

che è il modulo del campo gravitazionale che agisce in ogni punto del Cosmo.

Fra parentesi,  nei dintorni di ogni punto geometrico dell’Universo (punto fisico) esisterà un campo di marea, inversamente proporzionale al cubo della distanza dai centri massa, che deforma lo spazio fisico. Il campo gravitazionale (forza riferita all’unità di massa) deforma, cioè,  i punti fisici del Cosmo tramite il campo di marea. Come procede tale deformazione? In che modo si deformano i punti materiali? Tale ‘campo di marea’ avrà plausibilmente a che fare col tensore gravitazionale di Einstein (Relatività Generale) e la deformazione della geometria dello spazio. Si lascia per ora al lettore l’onere di calcolarsi tale campo e la sua deformazione.

Se infine vogliamo far figurare nella costante di proporzionalità la velocità della luce, come suggerito dall’ipotesi corroborata, basta confrontare la (1) con la (2) per ottenere:

K=K°/(4* π*c),

dove K°=0.2514 Nm3s-1Kg-2.

Conclusioni

La F=K*Ms*mp/R2, se è estendibile a qualsiasi coppia di oggetti, assume la forma:

F1,2=F2,1=K*M1*M2/d2

che calcola il modulo della forza; K non dipendendo dalla natura e dalle condizioni fisiche degli oggetti-massa, dal posto che occupano, dalla velocità ecc., ma solo dalle unità di misura scelte, è una costante dell’Universo conosciuto, il cui valore, calcolato precedentemente è stato messo a confronto con quello ottenuto con metodi e strumenti sofisticati (bilancia di torsione di Cavendish). Si tratta della legge gravitazionale di Newton che controlla l’interazione di due qualsiasi oggetti dell’Universo puntiformi o sferici. E se non lo sono? Si trova il modo di applicare la legge spezzettando i due oggetti in piccoli volumi puntiformi ecc.. Allora due oggetti di qualsiasi natura fisica o chimica si attraggono scambievolmente mediante forze con la stessa direzione e verso opposto (si tratta sempre di forze di attrazione) e identiche in modulo (in caso contrario il fenomeno contraddirebbe il 3° Principio della Dinamica; infatti posti a contatto in quiete  si metterebbero in moto sotto la sola azione di forze interne).

Fino ad oggi non mi risulta che si possa schermare efficacemente l’azione della gravità come invece accade per forze elettriche e magnetiche, per cui non sembra facile stabilire sperimentalmente se la velocità di propagazione  dell’attrazione newtoniana sia finita o infinita, nonostante le nostre ‘fantasiose’ ammissioni per la formulazione delle ipotesi, che, pur corroborate, non corrispondono necessariamente al mondo, come lo sono, d’altronde, tutte le ipotesi verificate (K. Popper docet!); anche se comunque interessanti, rimarranno nel nostro contesto mera supposizione. Secondo Goodman più teorie fanno “attrito” con il mondo! Permangono in ambiti accademici ancora grandi incertezze sulle onde gravitazionali (“radiazione” emessa  da oggetti_massa con accelerazione variabile e, diciamo, ‘vettori’ dell’effetto gravitazionale) previste, sul piano teorico dalla Relatività Generale, come piccole grinze del campo che si propagano con la velocità della luce. Ricordo che sono stati fatti forti investimenti di risorse per la loro ricerca sul piano sperimentale (per es., progetti di costruzione di sofisticati interferometri, come LIGO negli Stati Uniti e Virgo in Italia, a Cascina, Pisa) e che alcuni ricercatori proclamavano di averle individuate direttamente e di aver misurato la loro velocità, ma non conosco la fine della loro ricerca.

(dott. Piero Pistoia)

PER OVVIARE A MODIFICHE NON CONSENTITE DEL TESTO RIPORTIAMO ANCHE  LE FOTO DELLE PAGINE DELL’ARTICOLO ORIGINALE

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