TIPS DI SCIENZA PER POETI, LETTERATI, FILOSOFI , PRETI, VISIONARI, ESPLORATORI, SANTI E…GUIDE TURISTICHE a cura di PF. Bianchi e P. Pistoia

Curriculum di piero pistoia:

PIERO PISTOIA CURRICULUM1

PIERO PISTOIA CURRICULUMOK

TIPS E FACILITIES DI SCIENZA PER POETI, LETTERATI, FILOSOFI (ECCETTO GLI EPISTEMOLOGI), ESPLORATORI, PRETI, SANTI, VISIONARI E … GUIDE TURISTICHE

Esercizi per recuperare e/o consolidare la memoria!

a cura di Pier Francesco Bianchi e Piero Pistoia

PARTE PRIMA

N.B. Il post è in via di costruzione e correzione!

clicca qui:      Serie TIPS

I FORMULE DI TAYLOR E MACLAURIN Lo scopo delle formule di Taylor e Maclaurin è di approssimare una funzione con un polinomio di grado arbitrario centrato in x0 nel caso di Taylor e in 0 (origine) nel caso di quella di MacLaurin. La formula di Taylor è espressa come: y = f(0)+ f ‘(0)*(x-xo)/1! + f ”(0)*(x-x0)2/2!+f ”'(0)*(x-x0)3/3!+…+f(n-1)(0)*(x-x0)n-1/(n-1)! + Rn(x)   dove Rn(x) =(x-x0)(f(n)(x0)+d(x))/n!  che è chiamato  resto dove d(x) è infinitesimo per x-> x0 ed è zero per x=x0. La formula di Maclaurin, come già scritto, è espressa come: y = f(0)+ f ‘(0)*x/1! + f ”(0)*x2/2!+f ”'(0)*x3/3!+…+f(n-1)(0)*x(n-1)/(n-1)! + Rn(x)  ed equivale a quella di Taylor per x0=0 dove Rn(x) è detto ancora resto. Queste due serie possono sempre essere associate ad una funzione, ma particolare importanza hanno se sono serie convergenti e convergono proprio alla f(x) da cui sono originate.

PARTE SECONDA

CRITERIO DI CONVERGENZA PER LE SERIE IN STUDIO DA SVOLGERE!! APPLICAZIONI DELLA SERIE DI MACLAURIN ALLE FUNZIONI BINOMIALI y=(a+x)n ; y=(a-x)n ; y=(1+x2 )1/2 ; y(1-x2 )-1/2 ; y=(1+x2 )-1/2 ; y=(1+x2 )-1

y = y(x) = (a + x)n

f(0)=an;

f ‘(0) = n(a+x)n-1 = nan-1;

f ”(0) = n(n-1(a+x)n-2 = n(n-1)an-2;

f ”'(0) = n(n-1)(n-2(a+x)n-3 = n(n-1)(n-2)an-3; e così via…

Sostituendo nella serie di Maclaurin abbiamo:

(a +x)a+ nan-1 x/1! + n(n-1)an-2x2/2!…

serie binomiale standard

Tale serie è vera per valori di n positivi, negativi e frazionari. Per risolvere gli altri casi basta (?) sostituire ad a, ad ed a x i loro valori:

a=1

n=1/2 o -1/2 o -1

x->x2 o -x2

e procedere poi alla sostituzione nella serie binomiale standard. Da controllare.

ESEMPI:

Il problema dell’approssimazione di una funzione con una data funzione polinomiale è di fondamentale importanza. E’ necessario per poter procedere che le funzione data sia continua e derivabile almeno n volte. Supponiamo di voler calcolare il valore della funzione e per un valore vicino allo 0. Per es. 0,2. La prima cosa che imponiamo il valore del polinomio nello 0 sia uguale a e =1 quindi il polinomio di primo grado deve avere il termine noto uguale a 1. D’altra parte richiediamo anche che in un intorno di 0 sia il polinomio che la funzione data varino nello stesso modo; per cui la derivata prima della funzione calcolata nello 0 è uguale a 1 e quindi il polinomio di primo grado che approssima la funzione sarà y = x+1.e facciamo lo stesso per la derivata seconda che sarà approssimata da un polinomio di secondo grado del tipo La derivata seconda di nello 0 vale sempre 1 . Derivando troviamo la derivata prima y’= 2ax+b e y”=2a da cui 2a=1 quindi a=1/2, b=1 , c=1. Per cui il polinomio è y=1/2 +x +1. Procedendo nello stesso modo per il polinomio di terzo grado troviamo y=1/6 x +1/2 + x+1. Tanto maggiori in numero saranno le condizioni tanto più l’errore tenderà a 0. Così per il valore x=0,2 troviamo il polinomio di terzo grado p( 0,2) = 1,221. Per il polinomio di quinto grado p(0,2)= 1,221402 Vediamo quindi il valore del polinomio si avvicina sempre di più al valore reale e l’errore diminuisce e tende a 0. In questo caso i due polinomi differiscono solo dalla settima cifra decimale in poi e quindi l’errore che si può commettere è 10 usando uno dei due. Questo procedimento si può applicare a tante funzioni che sono continue e derivabili in un intorno di 0. Se il valore si distanzia parecchio da zero ma sempre deve essere minore di 1 ci vorranno più termini affinché il valore del polinomio nel punto si avvicini al valore vero della funzione nel punto. La formula che ne viene fuori è la formula di Mac Laurin. F(x)= F(0) +F’ (0) x/1! + F’’(0) x /2!+ F’’’(0) /3| +……… La formula generalizzata di questa è la formula di Taylor; F( x+h) =F(x) + F’(x) h/1!+F’’(x) h /2!+F’’’(x)h /3! +…… Questa formula ha come valore di partenza un qualsiasi x di cui si conosca bene il valore della funzione nel punto e quello delle derivate sempre nello stesso punto. L’errore che si commette nell’approssimare la funzione F con il polinomio di Taylor di grado n dipende dall’ h considerato e dal grado n del polinomio. Vediamo ora l’applicazione del polinomio di Taylor a varie funzioni.: y= ( a+x) f(a) ( che si ha per x=0 )= a f’(a)= na f’’(a)=n(n-1)a così facendo otteniamo: y=(a+x) = a + na x/1!+ n(n-1)a x /2!+n(n-1)(n.2)a x /3! +…… Per la funzione y= ( a-x) basterà mettere al posto di x -x e verrà fuori una serie a segni alterni in quanto la potenza di –x per x dispari resta negativa. Vediamo ora y =(1+x) F(1)=1 (x=0) F’(x)=1/2( 1+x) F’(1)=1/2 F’’(x)=-1/4(1+x) F’’(1)=1/4 y =(1+x) =1+1/2 x/1!+1/4x /2!+…… Se si vuol approssimare y =(1+ ) basterà sostituire alla x e quindi y =(1+ ) =1+1/2 /1!+1/4x /2!+….. Per la funzione y = ( 1- ) basterà cambiare con – e anche in questo caso avremo una serie a termini alternati nel segno. Prendiamo ora in esame y = ( 1+x) F(1)=1 (x=0) F’(x)=-1/2(1+x) F’(1)=1/2 F’’(x)=1/2(-3/2)(1+x) = -3/4)(1+x) F’’(1)= -3/4 Per cui y = ( 1+x) =1+1/2 x/1!-3/4 /2!+…. Per y =(1+ ) basterà sostituire alla x e nello stesso modo per y =(1- )

TIPS  SULL’USO DELLE  MATRICI CON ESEMPI

matrix_prodoct0002

Un altro esempio rilevante  dell’uso dell’algebra matriciale è quello di poter rappresentare il modello della regressione lineare multipla. matrix_tip20001

tip_inv

Matrice inversa, trasposta e prodotto

tip_inv_3

 

 

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA: INTRODUZIONE

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IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA:  ESEMPI DI APPLICAZIONE

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Per vedere il tip sugli esempi cliccare sotto

tips_mlr_es2

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